Исследовательская работа
 

Государственное учреждение образования

"Большеберестовицкая средняя школа

имени С.О. Притыцкого"

Карта сайта Электронное обращение На главную

Меню

Главная Skip Navigation Links

Горячие новости

25.06.2021
Республиканская молодежная трудовая акция "#ЗаДело!"

подробнее...

24.06.2021
Школа Активного Гражданина

подробнее...

23.06.2021
Молодежная площадка "Перезагрузка"

подробнее...

22.06.2021
Акция "Помним и чтим"

подробнее...

21.06.2021
Старт празднования Дня Молодежи 2021

подробнее...

 Анкета по теме "Оздоровление детей"

Контактная информация

Адрес: 231778
ул. Михайлина, 2
г.п. Большая Берестовица
Гродненская обл.
Телефон/факс:
+375 (1511) 70530       
Электронная почта:
bolshe@berestovica.edu.by 

Телефон для справок

+375 (1511) 70531   

Cтатистика посещений

Яндекс.Метрика

 

Фракталы

Презентация

  1. Введение

 Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т.д.

Многие природные системы настолько сложны и нерегулярны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как к примеру,  построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать многообразие биологических конфигураций, которое  мы наблюдаем в мире растений и животных? Представьте себе всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной (приложение 1, рис.1).

Мы задались вопросом: «К классу, каких геометрических фигур можно все это отнести?» Оказалось, что фракталы - подходящие средства для исследования поставленных вопросов.

  Цель данной работы – изучение понятия фрактала и  его применение.

Задачи:

  • обзор литературы и источников сети Internet по проблеме исследования;
  • изучение классификации фракталов и способов их построения;
  • выявление применения фракталов в других областях науки и окружающем нас мире.

2. История возникновения фракталов

                                 

   « Почему геометрию часто называют  холодной и сухой? Одна из  причин               заключается в ее неспособности описать  форму облака, горы, дерева или берега                моря. Облака- это не сферы, горы- это не конусы, линия берега- это не окружности, и                кора не является гладкой, и молния не  распространяется по прямой… природа                 демонстрирует нам не просто более  высокую  степень, а совсем другой                   уровень сложности. »  

                                          Бенуа Мандельброт

          Понятие фрактала было введено Бенуа Мандельбротом (приложение, рис. 2) в 1975 году. Мандельброт ввел и сам термин фрактал, произведя его от латинского прилагательного fractus, обозначающего дробный. Латинский глагол frangere, означает ломать на части, разламывать на  неправильные, нерегулярные фрагменты. Согласно  Мандельброту, фракталом называется структура, состоящая из частей, подобных целому. Фракталы стали воплощением самоподобия: Это свойство резко отличает фракталы от объектов классической геометрии.

История фракталов началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в 19 веке. Фракталы этого класса - самые наглядные, потому что в них сразу видно самоподобие. Примерами таких фракталов служат: снежинка Коха, кривая Леви, треугольник Серпинского, губка Менгера, дерево Пифагора, пятиугольник Дарера (приложение,  рис.3).

В 1883 году Георг Кантор с помощью простой повторяющейся процедуры превратил линию в набор несвязных точек (так называемая пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками.

 В 1890 году Джузеппе Пеано построил кривую, покрывающую квадрат. Для ее рисования Пеано использовал следующий алгоритм.

В первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длиной в 3 раза меньшей, чем длина исходной линии ( часть 1 и 2 рисунка 1). Далее делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так далее до бесконечности.  Уникальность этой линии в том, что она заполняет всю плоскость. Доказано, что для каждой точки на плоскости можно найти точку, принадлежащую линии Пеано. Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек. А кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость. Во многих других областях науки появлялись задачи, решение которых приводило к странным результатам, наподобие описанных выше (Броуновское движение, цены на акции).

В 1916 году Вацлав Серпинский построил линию, получившую название треугольник Серпинского, а немного позже – ковер Серпинского.  

  В 1918 году Гастон Жюлиа изучал множества, которые были названы в его честь и стали едва ли не самыми знаменитыми фракталами. Построенные на их основе картины привлекали внимание,  и слово фрактал стало модным.

 Конечно, тогда эти объекты не назывались фракталами. Они воспринимались всего лишь как изощренные конструкции математического ума, не имеющие ничего общего ни с обычной математикой, ни с реальным миром. Чтобы подчеркнуть их патологический характер,  их называли монстрами. До Мандельброта так и не было обнаружено, что все они являются представителями одного широкого класса объектов.

  2. Свойства фракталов

 Окончательного определения фрактала до сих пор нет. Вместо определения фракталы характеризуются своими существенными свойствами:

  • Теоретическая многомерность (можно продолжать в любом количестве измерений).
  • Если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой.  Фрагмент фрактала же в крупном масштабе будет таким же, как и в любом другом масштабе. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
  • Длины, площади и объемы одних фракталов равны нулю, других - обращаются в бесконечность.
  • Обладает дробной размерностью.
  • Является самоподобной или приближённо самоподобной, каждый уровень подобен целому.

 

4. Классификация фракталов

Существует множество классификаций фракталов. Принято различать регулярные и нерегулярные фракталы, из которых первые являются плодом воображения (математическая абстракция), подобным снежинке Коха или треугольнику Серпинского, а вторые - продуктом природы или деятельности человека (приложение, рис.1, рис.). Нерегулярные фракталы  в отличие от регулярных сохраняют способность к самоподобию в ограниченных пределах, определяемых реальными размерами системы.

- геометрические

Именноснихиначиналасьисторияфракталов. Этоттипфракталовполучаетсяпутемпростыхгеометрическихпостроений. Обычноприпостроенииэтихфракталовпоступаюттак: берется "затравка" - аксиома - наборотрезков, наоснованиикоторыхбудетстроитьсяфрактал. Далеекэтой "затравке" применяютнаборправил, которыйпреобразуетеевкакую-либогеометрическуюфигуру. Далееккаждойчастиэтойфигурыприменяютопятьтотженаборправил. Скаждымшагомфигурабудетстановитьсявсесложнееисложнее, иеслимыпроведем (покрайнеймере, вуме) бесконечноеколичествопреобразований - получимгеометрическийфрактал.

           Из геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является  - снежинка Коха. Строится она на основе равностороннего треугольника. Каждая линия которого ___ заменяется на 4 линии, каждая длиной в 1/3 исходной _/\_. Таким образом, с каждой итерацией длина кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций - получим фрактал - снежинку Коха бесконечной длины.

Ковер Серпинского, названный так в честь польского математика Вацлава Серпинского (1882-1969), строится следующим образом. Возьмем правильный треугольник (приложение, рис.5 , а). Это будет нулевым шагом. Проведём средние линии и исключим средний треугольник. Это будет первым шагом (приложение, рис.5, б). На втором шаге проведем средние линии трех оставшихся треугольников и в каждом исключим средние треугольники (приложение, рис.5, в) Повторив аналогичные действия на третьем и четвертом шаге и продолжив процесс бесконечно, получим изображение.( приложение, рис.5, г)

Здесь проявляется одно из свойств фракталов – самоподобие. Если мы возьмем любой из образовавшихся треугольников (разумеется кроме тех, которые мы вырезали) и увеличим его - получим точную копию целого. В данном случае мы имеем дело с полным самоподобием.

Ковер Серпинского можно построить как от руки, так и при помощи компьютера (приложение, рис.6).

 

- алгебраические 

      Втораябольшаягруппафракталов - алгебраические. Своеназваниеониполучилизато, чтоихстроят, наосновеалгебраическихформулиногдавесьмапростых.

 Одним из самых известных представителей этой группы является множества Мандельброта и Жюлиа.

МножествоМандельброта

Данное множество было открыто Бенуа Мандельбротом, отцом теории фракталов и названо в его честь. Мандельброт в своей книге “Fractal Geometry of Nature” писал, что “красота многих фракталов тем более поразительна, что открылась совершенно неожиданно”, так как “хотели построить с чисто учебной целью всего лишь математические диаграммы, и можно было ожидать, что они окажутся сухими и скучными”. Однако, пропустив программу, над которой он работал,  в компьютерной сети компании IBM, Мандельброт получил рисунок (приложение, рис.7), в котором явно просматривались признаки систематичности и самоподобия. И, когда изображение было увеличено, многие части обнаружили довольно сложную структуру.

МножествоЖюлиа

Множества семейства Жюлиа строятся по той же формуле (1), что и множество Мандельброта.   Одни из них похожи на большие тучи, другие напоминают колючие ветви кустарников, третьи выглядят как искры, летящие во время салюта. Практическое значение алгебраических фракталов в машинной графике не может быть неоцененно. Множества Мандельброта и Жюлиа являются основами при создании фрактальных изображений(приложение, рис. 11).

5. Методы для построения геометрических образов

Разберем алгоритм, при каждом выполнении которого можно построить горный пейзаж или хотя бы линию, разделяющую небо и горы. Этот алгоритм, во-первых, строит линии, имитирующие горный горизонт и почти неотличимые от тех, которые реально наблюдаются в природе. Во- вторых, он демонстрирует принцип построения фракталов. Этот алгоритм называют методом срединного смещения.

Метод срединного смещения

Первый шаг. Пусть дан невертикальный отрезок и некоторое число k,   0<k<1? Например, k= . Среднюю точку отрезка поднимаем на высоту, равную длине его горизонтальной проекции, умноженной на k, и соединим полученную точку с концами отрезка. Таким образом, вместо одного отрезка получим ломаную линию, составленную из двух отрезков.

Общий шаг. С каждым отрезком имеющейся в данный момент ломаной линии проделаем то же самое, только теперь предварительно бросим монетку, запустим датчик  случайных чисел или другим способом разыграем, что именно следует сделать: поднять середину этого отрезка или опустить.

Процедуру будем выполнять до тех пор, пока отрезки ломаной не станут настолько малы, что изображение перестанет изменяться (приложение, рис.8).

Порождающие правила

Многие классические фракталы строятся с помощью порождающих правил.

Каждое порождающее правило характеризуется двумя вещами:

1)                    затравкой - некоторым начальным множеством точек плоскости или пространства;

2)                    правилом преобразования, которое применяется к каждому множеству из числа имеющихся в текущий момент.

 В общем случае в начале каждой итерации имеется набор точечных множеств одного и того же типа. Итерация алгоритма состоит в том, что каждое из этих множеств заменяется объединением нескольких точечных множеств того же типа, но меньшего размера. Набор всех полученных точечных множеств подается на вход следующей итерации. Итерации выполняются достаточно много раз.

Порождающее правило для метода срединного смещения

Затравка: произвольный невертикальный отрезок.

Правило: отрезок заменяется ломаной, состоящей из двух отрезков, которые соединяют его концы с новой точкой. Эта точка получается в результате смещения его середины на определенную высоту h. Величина h зависит от номера итерации, а знак соответствует направлению смещения и определяется случайным образом.

Как же получить изображение, напоминающее естественный остров?

Возьмем снежинку Коха. Она обладает одной очень желательной особенностью: так же,  как и реальные острова, она имеет выступы - их можно считать мысами  и углубления, которые напоминают заливы и бухты. Чтобы получить более реалистичную картину острова, необходимо избавиться от круглой формы острова и нарушить регулярный характер смены мысов и заливов. Для этого возьмем вместо правильного треугольника произвольный многоугольник и применим порождающее правило кривой Коха ко всем его сторонам порождающее правило.

Порождающее правило фрактального острова

Затравка: выпуклый четырехугольник.

Правило: к каждому отрезку, являющемуся стороной многоугольника, применим порождающее правило кривой Коха(приложение, рис.9).

Порождающее правило случайного фрактального острова

Затравка: выпуклый четырехугольник ( или многоугольник).

Правило: к каждому отрезку, являющемуся стороной многоугольника, применим порождающее правило кривой Коха. С какой стороны от рассматриваемого отрезка надо добавить треугольник, определяется случайным образом (приложение, рис.10). 

Новые острова более похожи на настоящие. Введение в порождающее правило определенной доли беспорядка придает изображению более естественный вид.

6. Применение фракталов

 Фракталы находят применение практически всюду: от физики и биологии до музыки и библиотечного дела. Они позволяют обнаружить порядок в тех процессах, которые ранее представлялись совершенно хаотическими, зависящими от случайностей.

Компьютерная графика (приложение, рис.12)

Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами (такими как jpeg или gif). Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении картинки, не наблюдается эффекта пикселизации (увеличения размеров точек до размеров, искажающих изображение). При фрактальном же сжатии, после увеличения, картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.

Благодаря технологии фрактального сжатия фирма Microsoft  еще в 1992 году смогла поместить на один компакт-диск мультимедийной энциклопедии  Encarta 7000 фотографий, 100 видеороликов, 800 масштабируемых карт вместо 700 фотографий на обычном диске либо 1 час видео.

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и т. д.

 

Физикаидругиеестественныенауки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии, броуновское движение. Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес.

При помощи фракталов можно смоделировать языки пламени. Также фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии.

В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). В подводном мире также отыщется и множество фрактальных животных.  К таким животным можно отнести осьминога (приложение, рис.13). Его тело и присоски на всех восьми щупальцах  имеют фрактальное строение.

Каждый из нас хотя бы раз в жизни держал в руках и с неподдельным детским интересом рассматривал морскую раковину(приложение, рис.14). Обычно раковины являются красивым сувениром, напоминающим о поездке на море. Когда смотришь на это спиралевидное образование беспозвоночных моллюсков, нет никаких сомнений в его фрактальной природе.

 Мы, люди, чем-то напоминаем этих мягкотелых моллюсков, обитая в благоустроенных бетонных домах-фракталах, помещая и перемещая свое тело в быстрых автомобилях.

Еще одни типичнейшим представителем фрактального подводного мира является коралл (приложение, рис.15)..

В природе известно свыше 3500 разновидностей кораллов, в палитре которых различают до 350 цветовых оттенков. Коралл с полной уверенностью можно назвать фракталом из морского царства.

Примером фрактала, от которого плачут, является лук (приложение, рис.16). Конечно, фрактал он незамысловатый, обычные окружности разного диаметра, можно даже сказать примитивнейший фрактал. Фрактален такой полезный овощ, как обычная белокачанная капуста (приложение, рис.17).. Здесь так  же наблюдается принцип вложенности, как и для лука.

В народном творчестве можно увидеть фракталы.

Присмотревшись внимательней к всемирно известной игрушке «Матрешка», с уверенностью можно сказать, что эта игрушка-сувенир - типичный фрактал (приложение, рис.18).  Принцип фрактальности очевиден, когда все фигурки деревянной игрушки выстроены в ряд, а не вложены друг в друга.

Примером фрактала может служить мандала (приложение, рис.19)  — это геометрический символ сложной структуры. Яркий и завораживающий вид, делает её красивым украшением полов, стен и потолков храмов в Индии. На древнем индийском языке «мандала» обозначает мистический круг взаимосвязи духовных и материальных энергий Вселенной или по-другому цветок жизни.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

6. Заключение.

           Фракталыокружаютнасвсюду: этодеревья, горы, облака. Но, кромеэтогофракталывстречаютсявобъектахиневидимыхчеловеческимглазом: этоклеткиразличныхживыхтканей, трещинывземнойкореимногоедругое. Фрактальнаяграфикаможетприменятьсявомногихобластяхестественныхнаук. Онаиспользуетсянетольковматематике, ноивэкономике, географии, астрономии, биологии, физикеидажевлитературе. Фракталыпомогаютгеофизикамопределятьформуихарактеррастрескиванийземнойкорыиособенностираспределениявееслояхразличныххимическихэлементов, аастрономам – моделировать.

Одно я могу сказать точно, мир гораздо разнообразнее и богаче, чем убогие представления нашего ума о нем.

В настоящей работе  рассказывается, что такое фрактал, приводится классификация  фракталов, объясняется  как  с помощью простых методов построить такие сложные геометрические  образы,  как линия горного хребта и линия побережья острова. Это те естественные образы, для которых евклидова геометрия, использующая треугольники и окружности, не в состоянии предложить приемлемых моделей. 

 «Геометрия в архитектуре»

 Авторы работы:

Ткачёв Сергей Александрович, 11 «Б»  класс

ГУО «Большеберестовицкая средняя школа имени С. О. Притыцкого»,

 Кирш Роман Сергеевич, 11 «Б»  класс

ГУО «Большеберестовицкая средняя школа имени С. О. Притыцкого»

 

Руководитель работы:

Меленец Татьяна Геннадьевна, учитель математики, ГУО «Большеберестовицкая средняя школа имени С. О. Притыцкого»

  г.п. Большая Берестовица, 2015 г.

ПРЕЗЕНТАЦИЯ

1.Введение

Ни один из видов искусств так тесно не связан с геометрией как архитектура. Понимать архитектуру должен каждый, ведь она окружает и сопровождает нас всю жизнь. Великий архитектор Ле Корбюзье говорил: «Окружающий нас мир – это мир геометрии чистой, истинной, безупречной в наших глазах. Все вокруг – геометрия».

Здания, которые нас окружают, - это геометрические фигуры, которые являются объемными многоугольниками. В XXI веке геометрия и архитектура превратили наши города в величественные мегаполисы. Современные архитекторы, в погоне за современными тенденциями, все чаще принимают нестандартные решения в проектировании, используют различные причудливые линии и формы, чтобы сделать свои работы более запоминающимися, красивыми, не такими как все. Это и обуславливает актуальность выбранной нами темы исследования.

Перед началом работы, нами были поставлены следующие гипотезы:

  мы предполагаем, что архитектурные сооружения поселка Большая Берестовица имеют черты разных архитектурных стилей;

мы предполагаем, что возможно  построить здания, не используя такие фигуры как квадрат и параллелограмм.

Целью нашего исследования является изучение объемно-пространственных структур в различных архитектурных сооружениях и постройках.

Для достижения поставленной цели были поставлены следующие задачи:

  1. выявить взаимосвязь свойств архитектурных сооружений с геометрическими формами;
  2. рассмотреть геометрию как теоретическую базу для создания произведений архитектурного искусства;
  3. изучить возможности проектирования зданий, не используя такие фигуры как квадрат и параллелограмм.

В научно-исследовательской работе нами были использованы следующие методы исследования:

  • изучение литературы;
  • обзор источников сети Internet;
  • опрос;
  • интервью;
  • обобщение и анализ полученных данных.

Объект исследования: геометрические фигуры в различных архитектурных стилях.

Предмет исследования: здания и сооружения различных архитектурных стилей.

Работа состоит из введения, основной части с четырьмя подпунктами, заключения, списка используемых источников и приложений. Список источников включает в себя 10 наименований. Также прилагаются 2 приложения. Приложение 1 содержит графические изображения, приложение 2 – результаты интервью.


2. Основная часть

2.1 Историческая обусловленность использования различных типов геометрических фигур в стилях архитектуры

 

 «Прошли века, но роль геометрии

 не изменилась. Она по-прежнему остается грамматикой  архитектора»

Ле Корбюзье

2.1.1 История геометрии в архитектуре.

Первые геометрические понятия возникли в доисторические времена. Разные формы материальных тел наблюдал человек в природе: формы растений, животных, гор, извилин рек, круга и серпа луны и т. п. В процессе практической деятельности он накапливал геометрические сведения. Материальные потребности побуждали людей изготовлять орудия труда, обтесывать камни и строить жилища, лепить глиняную посуду, натягивать тетиву на лук и т. д.

Первые архитектурные сооружения имели религиозное назначение. У древних языческих племен для обрядов использовались обелиски (менгиры, дольмены или кромлехи) (Прил. 1, рис. 1).

Первые дошедшие до нас сведения об успехах геометрии связаны с задачами землемерия, вычислениями объемов (Древний Египет, Вавилон, Древняя Греция). Уже в то время возникло абстрактное понятие геометрического тела (фигуры) как некоторого объекта, сохраняющего лишь пространственные свойства соответствующего физического тела, лишенного всех остальных свойств, не связанных с понятием расстояния, протяженности и т. п.

Геометрия с момента зарождения изучала некоторые свойства реального мира. Связь геометрии и реального мира сохранилась на всем протяжении ее развития, при этом степень абстракции объекта изучения поднималась на все более высокий уровень.

Содержащиеся в дошедших до нас папирусах геометрические сведения и задачи в основном относятся к вычислению площадей и объемов. В них нет никаких указаний на способы вывода правил, которыми пользовались египтяне для их вычисления. Причем часто применялись приближенные расчеты. Геометрия, как практическая наука, использовалась египтянами для восстановления земельных участков после каждого разлива Нила, при различных хозяйственных работах, при сооружении оросительных каналов, грандиозных храмов и пирамид, при высечении из гранита знаменитых сфинксов. Переход от простейших построек к сложным архитектурным сооружениям осуществлялся медленно, по мере развития измерительных приборов, материалов, механизмов, необходимых для строительства.

 

2.1.2 Типы объемно – пространственных структур.

Когда мы знакомимся с архитектурным сооружением, то строим свое представление о нем на основании анализа его внешнего вида и внутреннего содержания. Происходит суммарная оценка внутренних и внешних качеств архитектурного объекта, оценивается пригодность внутреннего пространства, его соответствие назначению здания. Проверяется, насколько созданное проектировщиком и строителем внутреннее пространство может служить жизненной средой для современного человека.

Все многообразие объемно – пространственных структур можно свести к следующим типам:

1. Структуры, состоящие из внутреннего пространства. К этой группе относится большое количество сооружений: пещерные жилища скальные храмы древних цивилизаций, подземные стоянки и гаражи в современных городах, подземные торговые улицы и улицы для автотранспорта, метрополитены. Среди сооружений, включающих одно лишь внутреннее пространство, встречаются различные по степени сложности внутренне – пространственные структуры: от простейших пещерных поселений неолитического периода до современных метрополитенов, между которыми легли века человеческого труда и таланта. Современные подземные гаражи от их прародителя – пещеры мустьерского времени на Днестре или Мамонтовой пещеры в Северной Америке отличает не только сложная компоновка внутреннего пространства (наличие внутренних связей и переходов, эскалаторных ходов и лифтовых шахт). Возможность эксплуатации этих помещений обеспечивается всей системой технического обслуживания, вентиляции, искусственного освещения.

2. Структуры, не имеющие внутреннего пространства. К этому типу объемно – пространственных структур относится большая группа сооружений, начиная от сугубо утилитарных, граничащих с инженерными, до композиций, функции которых весьма незначительны по сравнению с художественными: гидротехнические сооружения, мосты, акведуки, монументы, фонтаны, триумфальные арки и др.

3. Объемно – пространственные структуры, состоящие из внутреннего пространства и внешнего объема. Анализ сооружений, входящих в эту группу, является наиболее сложным процессом по сравнению с анализом рассмотренных типов композиций. Построение объемно – пространственных структур этого типа предполагает организацию отдельных помещений и образование единого целого с учетом функциональных, эстетических и технических требований. Внешний образ должен быть органически связан с внутренним пространством, с природным и архитектурным окружением.

4. Структуры, включающие объемы и внешнее неперекрытое пространство: летние открытые театры, открытые стадионы и плавательные бассейны, велотреки, ипподромы и т.д. [1, стр.39].

2.1.3 Основные свойства архитектурно-пространственных форм.

Архитектурные сооружения состоят из отдельных деталей, каждая из которых строится на базе определенных геометрических фигур либо на их комбинации. Кроме того, форма любого архитектурного сооружения имеет своей моделью определенную геометрическую фигуру. Математик бы сказал, что данное сооружение «вписывается» в геометрическую фигуру.

Конечно, говорить о соответствии архитектурных форм геометрическим фигурам можно только приближенно, отвлекаясь от мелких деталей. В архитектуре используются почти все геометрические фигуры. Выбор использования той или иной фигуры в архитектурном сооружении зависит от множества факторов: эстетичного внешнего вида здания, его прочности, удобства в эксплуатации и т. д. Основные требования к архитектурным сооружениям, сформулированные древнеримским теоретиком архитектуры Витрувием, звучат так: «прочность, польза, красота». Каждая геометрическая фигура обладает уникальным, с точки зрения архитектуры, набором свойств.

Например, в Белоруссии спроектировано здание гостиницы возле международного аэропорта в форме конуса. Конус преобразовывает ход звуковой волны, зашедшей в него. Примером использования этого свойства может стать обычный мегафон [3, стр. 38]. Эта особенность конуса оказалось чрезвычайно полезной для уменьшения шума в гостиничных номерах. Иногда, пытаясь решить с помощью архитектуры определенные идейные задачи, авторы проектов получают отрицательный результат. Примером может послужить здание театра Советской Армии, построенное в Москве в советское время. Пытаясь максимально приблизить архитектурный образ к наименованию театра, авторы придали зданию форму пятиконечной звезды. В результате это привело к значительным трудностям в планировке помещений и дополнительным затратам. А идейную пятиконечную форму театра смогли увидеть только птицы.

Прочность - одно из важнейших качеств архитектурных сооружений. Она зависит от свойств материалов, из которых они созданы, и от конструктивных особенностей. А прочность конструкции сооружения в целом, напрямую связана с базовой геометрической формой этого сооружения. Самым прочным архитектурным сооружением древних времен являются египетские пирамиды (Прил. 1, рис. 2, 3).

Они, как известно, имеют форму правильных четырехугольных пирамид. Именно эта геометрическая форма обусловливает наибольшую устойчивость за счет большой площади основания. С другой стороны, форма пирамиды обеспечивает уменьшение массы по мере увеличения высоты над землей. Именно эти два свойства делают пирамиду устойчивой и особенно прочной. «Рациональность» геометрической формы пирамиды позволяет выбирать внушительные размеры для этого сооружения, придает пирамиде величие, вызывает ощущение вечности.

В настоящее время максимальной прочностью обладают каркасные конструкции, которые используются при возведении современных сооружений из металла, стекла и бетона. Примерами таких сооружений могут послужить известные башни: Эйфелева башня (Прил. 1, рис. 4) в Париже и телебашня на Шаболовке (Прил. 1, рис. 5) в Москве. Телебашня на Шаболовке, построенная по проекту В. Г. Шухова, состоит из нескольких поставленных друг на друга частей однополостных гиперболоидов. Причем каждая часть сделана из двух семейств прямолинейных балок.

Это свойство называется линейчатостью. Оно используется при строительстве различных сооружений из железобетона. Чтобы придать этому материалу нужную форму изготавливают опалубку из прямых досок. Не являясь плоскими, однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид могут быть построены с помощью прямых линий.

Однополостный гиперболоид (Прил. 1, рис. 6) – это поверхность, образованная вращением в пространстве гиперболы, расположенной симметрично относительно одной из осей координат в прямоугольной системе координат. На Рис. 6 выделена гипербола, которая симметрична относительно оси у и вращается относительно оси z. Таким образом, получается однополостный гиперболоид. Любое осевое сечение однополостного гиперболоида будет ограничено двумя гиперболами.

Гиперболический параболоид (Прил. 1, рис. 7) – это поверхность, которая в сечении имеет параболы и гиперболу. Его архитекторы кратко называют гипар. Именно гипар использовал Ф. Кандела при строительстве Вечернего зала в Акапулько (Мексика) (Прил. 1, рис. 8).

Однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид могут быть образованы перемещением двух прямых. Самые простые неплоские поверхности – цилиндрическую (Прил. 1, рис. 9) и коническую (Прил. 1, рис. 10) можно построить перемещением одной прямой.

2.2 Разнообразие геометрических форм в разных архитектурных стилях.

Развитие архитектуры в немалой степени зависит от эстетических идеалов, художественных потребностей общества.

Эстетические особенности архитектурных сооружений изменялись в ходе исторического процесса и воплощались в архитектурных стилях. Стилем принято называть совокупность основных черт и признаков архитектуры определенного времени и места. Геометрические формы, свойственные архитектурным сооружениям в целом и их отдельным элементам, также являются признаками архитектурных стилей. Попробуем создать систему соответствия геометрических форм и основных архитектурных стилей [5, стр. 26].

На смену рассмотренным древним египетским пирамидам пришли сооружения, созданные по стоечно-балочной системе. С точки зрения геометрии они похожи на многогранник, который получится, если на два вертикально стоящих прямоугольных параллелепипеда поставить еще один прямоугольный параллелепипед (Прил. 1, рис. 11). Элементы этой системы (стойки) могут быть цилиндрическими и коническими (колонны). Это основные геометрические признаки античной архитектуры (архитектуры Древней Греции и Рима) (Прил. 1, рис. 12).

Разумеется, стоечно-балочная конструкция проигрывала пирамиде в устойчивости и распределении веса, но она позволяла создавать внутренние объемы и, безусловно, явилась выдающимся достижением человеческой мысли. Главным недостатком такой конструкции была плохая работа камня на изгиб (поэтому в храме Амона в Карнаке (Прил. 1, рис. 13) так много колон) [6, стр. 18].

Древнегреческая архитектура, возникшая на островах Эгейского моря, была настолько гармоничной и целостной, что впоследствии воспринималась более поздними стилями (Ренессанс, Классицизм) как первоисточник, как некий эталон для подражания.

Римляне также экспериментировали с куполом. Полусферический купол имеет Пантеон – храм всех богов - в Риме (Прил. 1, рис. 14). Диаметр купола составляет 43 м. При этом высота стен Пантеона равна радиусу полусферы купола. Получается, что само здание этого храма как бы «накинуто» на шар диаметром 43 м. Гигантский портик на коринфских колоннах ведет в центральное помещение в форме громадного цилиндра. Оно разделено нишами, в которых были установлены статуи богов. Первоначально в античной архитектуре использовались только полусферические купола и полуциркулярные арки (Прил. 1, рис. 15).

Термин "романский стиль" условен и возник в первой половине 12 века, когда была обнаружена  связь средневековой архитектуры и античной.

В 11-12 веках церковь достигла вершины могущества. Архитектура была ведущим видом искусства. Церковная романская архитектура развивалась под сильным воздействием византийского и арабского искусства. Формы романской культовой архитектуры, в частности обилие плоскостей, способствовали распространению монументальной скульптуры, которая существует в форме рельефа, распластанного на плоскости стены или покрывающая поверхность капителей. В композициях преобладает плоскостное начало. Для этого стиля характерны циркулярные арки (Прил. 1, рис. 16). Фигуры располагаются в пределах вертикальных поверхностей, причем композиция не дает ощущения глубины. Обращают на себя внимание разные масштабы фигур.

Христос всегда больше ангелов и апостолов, которые в свою очередь больше простых смертных. Фигуры находятся в определенном соотношении и с архитектурными формами. Изображения в середине крупнее, чем те, которые находятся по углам. На фризах помещаются фигуры приземистых пропорций, а на несущих частях - удлиненные. Такое соответствие изображения архитектурных очертаний одна из характерных черт романского стиля. Памятники романского искусства рассеяны по всей Западной Европе. Больше всего их во Франции, которая в веках была не только центром философского и теологического движения, но и широкого распространения еретических учений. В архитектуре и скульптуре встречаются наибольшее разнообразие форм и конструктивных решений.

На смену романскому искусству пришла готика. Готические здания отличаются обилием ажурных кружевных деталей в форме цилиндров, пирамид, конусов. Они как снаружи, так и внутри производят впечатление легкости и воздушности. [4, стр. 67].

Окна, порталы, своды имеют характерную стрельчатую форму. Фасады сооружений обладают осевой симметрией. Стрельчатая арка (Прил. 1, рис. 17) привнесла в готическую архитектуру два конструктивных новшества. Во - первых, стрельчатые своды стали выполнять на нервюрах – каменных ребрах, несущих независимые друг от друга части свода – распалубки. Нервюры служат как бы скелетом свода, они берут на себя основную нагрузку. В результате конструкция свода становится более гибкой: она может выдержать те деформации, которые для монолитного свода окажутся губительными. Таким образом, нервюры явились прототипом современной каркасной конструкции.

Внутренним опорам и стенам готического собора оставалась лишь одна вертикальная нагрузка – вот почему их можно было делать более тонкими и изящными. Поскольку вертикальную нагрузку готического храма нес пучок нервюр, центральные стены как несущие конструкции оказались ненужными, и их заменили цветными витражами.

Готические конструкции XII – XV перекликаются с современными архитектурными конструкциями, у которых нагрузку взял на себя тонкий железобетонный каркас, а стены стали стеклянными.

Готика, возникшая после романского стиля, стала более жизнерадостной. Во всех готических архитектурных сооружениях наблюдается стремление ввысь, к небу, подальше от светской суеты. Широко использовавшиеся в их формах пирамиды и конусы, соответствовали общей идее – стремлению вверх. Характерными деталями для готических сооружений являются стрельчатые арки порталов, которые пришли на смену полуциркульным аркам, являющиеся, с точки зрения геометрии, более сложными. Стрельчатая арка состоит из двух дуг окружности одного радиуса. На рисунке 21 над горизонтальной линией видно схематическое изображение стрельчатой арки.

У архитекторов различных эпох были и свои излюбленные детали, которые отражали определенные комбинации геометрических форм. Например, зодчие  Древней Руси часто использовали для куполов церквей и колоколен так называемые шатровые покрытия. Это покрытия в виде четырехгранной или многогранной пирамиды.

Такое покрытие, например, имеет церковь Вознесения в селе Коломенское (Рис. 18). Другой излюбленной формой древне-русского стиля (русско-византийского) являются купола в форме луковки. Луковка представляет собой часть сферы, плавно переходящую в конус. На рис. 19 (Прил. 1) изображена церковь Ильи Пророка в Ярославле, построенная в середине XVII века. При ее создании зодчие использовали как шатровые покрытия, так и купола в виде луковок [2, стр. 56].

Ренессанс - так называется стиль, созданный архитекторами Эпохи Возрождения. Наследие античного искусства в этом стиле применяется более свободно, с отступлением от канонов, в других пропорциях и размерах, в сочетании с другими архитектурными элементами. Здания Ренессанса строгие по форме, с четкими прямыми линиями и с сохраненной симметрией фасадов.

Стиль барокко пришел на смену ренессансу. Он отличается обилием криволинейных форм. Грандиозные архитектурные ансамбли (группа зданий, объединенных общим замыслом) дворцов и вилл, построенных в стиле барокко, поражают обилием украшений на фасадах и внутри зданий. Прямые линии почти отсутствуют. Архитектурные формы, создавая впечатление постоянной подвижности, изгибаются, громоздятся друг на друга и переплетаются с узорами, украшениями, скульптурами. Этот великолепный и пышный стиль просуществовал не долго и уже во второй половине XVIII в. на смену ему приходит строгий и величественный классицизм.

Для классицизма характерна ясность форм. Все здания, построенные в этом стиле, имеют четкие прямолинейные формы и симметричные композиции. Сознательно заимствованы приемы античности и ренессанса, применены ордеры с античными пропорциями и деталями. Простота и в то же время монументальность, утверждавшие мощь и силу государства, ценность человеческой личности с удивительной гармонией сочетаются в этом стиле.

Модерн появился в начале XX в., как попытка освободиться от долгого подражания античности, как желание создать новые формы из новых материалов – металла, стекла, бетона, керамики. Поиск новых форм и освоение новых материалов привели к новым видам композиций.

Стиль не имеет строгих симметричных конструкций. На рис. 20 (Прил. 1) изображено здание клуба имени И. В. Русакова в Москве. Это здание построено в 1929 г. по проекту архитектора Мельникова. Базовая часть здания представляет собой невыпуклую прямую призму благодаря выступам, которые заполнены вертикальными рядами окон. При этом гигантские нависающие объемы также являются призмами, только выпуклыми.

Наконец, обратимся к геометрическим формам в современной архитектуре. В архитектурном стиле «хай-тек» вся конструкция открыта для обозрения, здесь видна геометрия линий, идущих параллельно или пересекающихся, образуя ажурное пространство сооружения. Своеобразной прародительницей этого стиля является Эйфелева башня.

«Хай-тек», благодаря возможностям современных материалов, использует сложные, изогнутые (выпуклые и вогнутые) поверхности. Их математическое описание очень сложно. Чтобы представить эти поверхности достаточно обратиться к зданиям, возведенным Антонио Гауди, Ле Корбюзье и другими современными архитекторами.

2.3. Интересные архитектурные сооружения городского  поселка Большая Берестовица.

В нашем поселке можно увидеть здания, имеющие черты разных  архитектурных стилей. Каждому из этих стилей соответствуют определенные геометрические формы.

Костёл Визитации Пресвятой Девы Марии  - памятник архитектуры барокко.

 Костел, если смотреть на него сверху, имеет крестообразную форму. Пол в его центральной части с каменных плит (гранитных и мраморных), а вот в боковых частях – с кирпича, положенного кругами разной величины.

Храм представляет собой трёхнефную базилику с трапсептом,  полукруглой апсидой и двумя низкими сокристиями по бокам алтарной части. Главный фасад разделяется пилястрами на три части и венчается ступенчатым аттиком. Центральная частъ аттика имеет фронтон украшенный овальной нишей. Боковые фасады и апсида декорированы равномерным ритмом пилястр и лучковых оконных проёмов.

Верхняя часть строения опоясана раскрепованным
антаблиментом. Внутреннее пространство костела расчленено четырьмя массивными колоннами на три нефа. Центральный высокий неф перекрыт цилиндрическими вводами на распалубках и конхой в алтарной части. Два боковых низких нефа соединяются с центральным нефом арочными проёмами и перекрыты крестовым сводами на подпружных арках. В центральной части у входа -  бабинец, по бокам которого располагаются две шахты с лестницами на хоры и крышу.

Под зданием располагается подвал, используемый под крипту, с девятью отдельными помещениями (Рис.26– 29).

Костёл Преображения Господня - памятник архитектуры неоготики.

 Построенный прямоугольной 3-нефовой базиликой с 5-гранной апсидой Главный фасад получил динамическую вертикально направленную композицию, завершённую 3-ярусной шатровой вежей-колокольней. Вертикальность усиливают ступенчатые контрфорсы и стрельчатые проёмы. Колористическое решение здания достигается сполучением фактурной "аксамитной" штукатурки стен и отынкованных элементов архитектурного декора: лопаток, карнизов, ниш. Готической напыщенностью выделяется интерьер храма, нефы которого перекрыты стрельчатыми сводами. Деревянный амвой также решён в утончённых формах готики. (Рис. 30)

Свято-Николаевская церковь – православный храм, возведенный в 1865 году на месте деревянного строения, которое из-за ветхости было разобрано. Были созданы новые объемные средства выразительности: луковичные купола, крестово-центричное построение нефа. Колокольня стоит отдельно и выполняет роль  брамы. (Рис.31)

На территории бывшей усадьбы Косаковских располагается центральная районная больница, только отдельные строения напоминают об этом. Больничные ворота  – усадебная брама. (Рис 32-33)

Элементы стиля классицизма можем наблюдать на примере некоторых зданий поселка. Стены, ритмично разделенные группами колонн, под единой лентой аттика, арки, декорирование фриз над окнами – черты классицизма. (Рис 34-36)

Рядовые и ленточные, замкнутые и точечные варианты секционных домов определяют урбанистическую фактуру Большой Берестовицы. Дома представляют собой прямоугольные параллелепипеды, построенные точечно или композиционно соединенные.

Новые типы сооружений возникли в гражданской архитектуре: банки, гостиницы, магазины. (Рис 37-39)

 Материалы и конструкции повсеместно становятся средствами выразительности, элементами архитектурного дизайна. Легкие, пластичные, просторные, отражающие свет сооружения заполняют пространство резервных территорий. Пример этому, амфитеатр в парке нашего поселка, выстроенный в виде части сферы. (Рис 40)

 

2.4 Исследование возможностей постройки здания без использования квадрата и параллелограмма.

В самом начале исследования нами был проведен опрос среди 50 представителей различных возрастных и социальных групп о том, какие, по их мнению, геометрические фигуры чаще всего используются в зданиях их населенных пунктов (возможны несколько вариантов ответов).

Из полученной ранее информации, известно, что построение прочных сооружений не сводится к использованию только четырехугольных фигур, таких как квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм и др. Это подтверждается зданиями, построенными в виде пирамид и конусов. Египетские пирамиды – одно из 7 чудес света- более 4,5 тысяч лет несокрушимо хранят тайну Древнего мира. И это не самые причудливые сооружения.

Казалось бы, ну что можно придумать из стандартного набора «стены, пол и крыша». Однако, по всему миру все чаще и чаще встречаются дома всевозможных форм и размеров. Многие архитекторы отказываются от стандартных фигур и проектируют настоящие шедевры, известные по всему миру. К ним относятся такие здания как Парящий замок в Украине (Floating Castle), Перевернутый дом (Syzmbark, Польша), Дом-рояль со скрипкой (Piano shaped building). Город Хуайнань, Китай, Изогнутый Дом (Сопот, Польша), Национальная Библиотека (Минск, Беларусь). (Прил. 1, рис.21-25)

Для того, чтобы подтвердить или опровергнуть нашу гипотезу мы взяли интервью у сотрудника ООО "МеталПрофиль". Архитектору и инженеру-проектировщику были заданы различные вопросы.

Из полученных ответов (прил.2) мы пришли к выводу, что вполне возможно построить здание без использования квадратов и параллелограммов, при этом проектировщикам не придется «изобретать велосипед». Современные технологии позволяют построить здание любой сложности и любой формы.

3. Заключение

В результате проделанной работы выяснилось, что геометрия с архитектурой непосредственно связаны – геометрия является незаменимой частью архитектуры, одной из ее основ.

Геометрические формы определяют эстетические, эксплуатационные и прочностные свойства архитектурных сооружений разных времен, и стилей. Причем для каждого архитектурного стиля характерен определенный набор геометрических форм зданий и сооружений в целом и их отдельных элементов. С развитием строительных технологий возможности применения геометрических форм расширяются. На примере нашего поселка были проанализированы различные архитектурные стили и их геометрические свойства.

Геометрия была рассмотрена как теоретическая база для создания произведений архитектурного искусства. Были сформулированы представления об объективности математических отношений, проявляющихся в архитектуре как в одной из форм отражения реальной действительности.

В ходе проверки  поставленных гипотез, мы пришли к следующим выводам:

  • здания нашего поселка имеют элементы  различных архитектурных стилей;
  • современная архитектура не ограничивается использованием стандартных фигур, а все чаще использует новые линии и формы;
  • возможно построить здание без использования четырехугольных фигур, если при этом учитывать определенные условия.

Таким образом, гипотезы о том, что архитектурные сооружения поселка Большая Берестовица имеют черты разных архитектурных стилей; о возможности постройки здания без использования квадратов и параллелограммов подтверждены. В ходе осуществления задач, цель исследования была достигнута полностью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


4. Список использованных источников.

 

1. Пономарева Е.С. Интерьер и оборудование гражданских зданий. – Минск: Вышэйшая школа, 1976. – 224с.

2. Кишик Ю.Н. Градостроительная культура Гродно. – Минск: Белорусская наука, 2007. – 303 с.

3. Локотко А.И. Архитектура Беларуси в европейском и мировом контексте. – Минск:Беларуская Энцыклапедыя імя П. Броўкі, 2012. – 432 с.

4. Лакотка А.І. Нацыянальныя рысы Беларускай архітэктуры. – Мінск: Ураджай,1999. – 366 с.: іл.

5. Трацевский В.В., Колосовская А.Н., Чижик И.А. Классические архитектурные формы : учеб. пособие. – Минск: Выш.шк.,2008. – 208 с.: ил.

6. Бартонь Н.Э., Чернов И.Е. Архитектурные конструкции (части зданий).  – Москва:Высшая школа,1974. – 320 с.

7.http://www.beresta.by/

8.http://www.radzima.org/

9.http://belkraj.by/ru

10.http://globus.tut.by/bolsh_berestov/